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如何撰写大学数学论文:研究性教学的必要性与措施探讨

 2025年03月22日  阅读 20

摘要:大学期间最多的是论文,其他类型的论文还可以,而数学论文呢!大家普遍都很讨厌数学,所以对于数学论文该怎么写这个问题,小编在此为大家列出了一篇以供参考。教学是培养创新型人才的主要方式。我国要在2013年跨入创新型国家行列。积极探寻能促进创新型人才培养的有效课...

大学期间最多的是论文,其他类型的论文还可以,而数学论文呢!大家普遍都很讨厌数学,所以对于数学论文该怎么写这个问题,小编在此为大家列出了一篇以供参考。

教学是培养创新型人才的主要方式。我国要在 2013 年跨入创新型国家行列。积极探寻能促进创新型人才培养的有效课程教学模式,这是新时期高等教育需着力解决的重要事宜。在此种背景之下,研究性教学成为近年来我国创新教育教学研究的热门问题之一。大学数学课程在高校课程体系里有着极为重要且不可替代的地位,它是高校培养创新型人才的重要承载方式。所以,进行大学数学课程研究性教学的研究与实践,对于推动创新教育以及实现创新型人才培养而言,意义重大。本文针对开展大学数学课程研究性教学的必要性以及相应措施进行了一些有价值的探讨。

开展大学数学课程研究性教学的必要性

从数学的发展角度而言,问题是推动数学创新的源泉与动力。比如,德国数学家希尔伯特(D.)在 1900 年举办的国际数学家大会上进行了题为《数学问题》的演讲,他提出了被后人称作“希尔伯特问题”的 23 个数学问题。这些问题给数学家开展研究明确了方向。一个好的数学问题具有价值,这种价值在于它能够激发数学家的创新思维,还能引发在思想、方法和理论方面的创新。所以,有人把好的数学问题比作会下蛋的金鹅。事实上,到现在为止,这 23 个问题中的大部分都已经有了圆满的解决。这促进了与数学基础相关的一些关键问题的研究和解决,直接推动了代数、几何、分析等这些数学分支的发展,并且催生出了一系列相关的创新成果。

从人才培养方面来说,创新型人才培养的重要目标之一是具备较强的创造性思维和问题解决能力。理论的创新以及实践的创新,都源自对问题的探索与解决过程。能够察觉到问题并且提出问题,这是思维积极、具有较强创新意识和能力的一种体现。爱因斯坦曾经讲过:“只有那些善于发现问题和提出问题的人,才能够产生创新的冲动。”同时,评判创新型人才创新能力高低的重要标准是分析问题视角的独特性和解决问题的新颖性。思维的创造性以及问题解决能力能够通过后天的训练,借助恰当的载体来获得和提高。数学课程就是这样一种恰当的载体,并且几千年的教育实践已经证明了它的有效性。著名数学教育家波利亚(G. Pólya)持有这样的观点,即数学能力指的是解决问题所展现出的才智。

研究性教学是以问题为中心且以提高学习者的问题解决能力为目标的一种教学形式。开展数学课程的研究性教学,对于对学生进行数学思维训练以及提高其创新能力和意识来说,是必然的选择。实际上,问题在数学学习和思维过程中有着重要作用:问题情境能够引发数学学习者的抽象思维和形象思维等思维活动,并且进而能够诱发学习者进行探究和创新等认知活动。在研究数学问题时,学习者需经历观察等多种认知过程,需综合运用抽象等多种思维能力。所以,这一过程是学习者自身经历知识获取等过程,也是实现知识和能力自我建构的过程。在数学课程的研究性教学里,教师创设了问题探究的研究性教学情境。这种情境能启发学生,也能引导学生。学生通过对问题进行分析和研究,就能积极主动地去完成知识的探究和学习。同时,学生的学习目标也在转变,从“学会”转变为“会学”。学生的角色同样发生了变化,从消极被动的接受者变成了积极主动的参与者,并且成为了知识与能力的自我建构者。教师与学生围绕问题进行质疑等多种交流互动,也进行验证、讨论等多种交流互动。学生需要亲历问题的发现过程、分析过程以及解决过程。因此,开展以问题为中心的大学数学课程研究性教学,能够促使数学课程教学模式发生转变,让学习者的数学思维以及创新能力得到更有效的训练和提升。

开展大学数学课程研究性教学的措施

大学数学课程有其自身特点,近年来的教学实践也在不断推进。基于此,我们认为可以采取一些措施来切实推动大学数学课程研究性教学的开展,从而更好地为创新型人才培养这一中心目标服务。

(一) 将数学文化融入课程教学

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把数学文化融入数学课程教学,推动数学课程研究性教学,主要有以下两方面着眼点。

研究性教学是以问题为中心的教学方法。教师要依据教学目标,将教学内容与之结合,设计出合适的问题。还要合理选取素材,创设出一个开放且生动的学习与探究的问题情境,从而引导学生自主地开展学习和研究活动。在数学文化中,数学猜想、数学史料、数学名题等,是教师在开展研究性教学时进行问题设计以及研究素材选取的重要来源。在高等数学课程里,借助第二次数学危机的相关问题与情况来开展微积分相关概念的研究性教学。在将无穷小量、极限、导数、微分等概念介绍完毕后,给学生提出一些问题,比如哪些概念是微积分中的根本性概念?无穷小量是否为零?在学生进行思考和讨论的过程中,穿插着介绍第二次数学危机中曾经出现过的一些谬论以及错误认识,让学生去辨别。同时,会进行一些带有错误的演算展示,让学生去找出演算里的错误。例如,当增量是无穷小的时候,直接把它设定为零。在这样的研究性教学过程中,学生能够弄明白微积分中像无穷小量、无穷大量、极限、导数、微分等重要的概念。并且,他们也能感受到:数学的学习和研究不能仅仅停留在形式的计算和推导上,要注重自身数学理论基础的严密性和扎实性。事实上,在这样的教学过程里,学生对所学内容有了更深的认识。同时,学生还可以吸取数学家在数学创新过程中的经验和教训。

2.学生学习和研究的自主性是影响研究性教学成

败的一个关键因素是这样的。所以,教师需要创设富有趣味的教学情境,通过这种方式来激发学生的学习兴趣以及探究未知问题的主动性,只有这样才能够确保研究性教学顺利开展。并且,数学史料、诗词歌赋、数学家生平这些数学文化素材为开展上述工作给予了重要的支撑。著名的哥尼斯堡七桥问题把抽象的拓扑学和通俗的生活问题联系起来,教师能够利用它开展拓扑课程的研究性教学,从而自然地引导学生认识拓扑学的发展起源并阐释同胚的实质。数学论文《高中、大学数学学习衔接问题的研究》也有这样的情况,比如杨振宁先生写过一首名为“赞陈氏级”的诗[4]:“天衣难道没有缝吗?是匠心裁剪拼接而成的。浑然一体,广阔深邃且奇妙绝伦。”造化爱几何,四力纤维能。千古寸心事,欧高黎嘉陈。”以下是可以创设的趣味盎然的微分几何研究性教学情景:以诗中提及的欧几里得、高斯、黎曼、嘉当、陈省身这五位数学大师生平及其贡献为线索,去介绍几何学的发展史,同时将课程的相关内容前后勾连起来,实现有效衔接;以这首诗的撰写背景来阐述几何与物理虽然路径不同但最终目标一致,且相互促进的关系。数学文化是一门包含数学、历史学、哲学、文化学等领域的交叉科学。所以,把数学文化融入数学课程研究性教学,具有重要意义,即能够在数学与人文科学之间搭建起一座桥梁,把科学素质教育和人文素质教育进行有机的融合。

(二)做好数学软件的教学工作

多年发展后,目前数学软件在数学图形绘制以及数值计算等方面的功能愈发强大且完善,能够帮助数学、物理、工程、电子、设计等理工科专业人员迅速且高效地解决在应用和研究中出现的诸多问题。例如,借助数学软件进行数值模拟是解决工程问题的有效途径之一。因此,需要通过合适的途径来强化数学软件的使用教学,并且这是开展数学研究性教学的重要部分之一。

数学实验课程是一个优良的平台,用于进行数学软件使用教学。学生可从问题开始,借助数学软件,亲身动手去体验分析和解决问题的过程,进而探究和验证数学规律。然而,由于课时等原因,目前数学实验的开设状况并不理想。并且,数学实验的内容选择较为宽泛,与具体课程教学内容的结合不够紧密。这些情况在一定程度上对数学软件在数学课程研究性教学中作用的发挥产生了影响。这是在后续的教学改革与实践中需要着力去解决的问题。

我们能够把数学软件在数学课程里的应用内容,以模块化的形式融入到具体数学课程的教学当中。这是顺应了计算机技术普及的趋势,是一种必然的选择。同时,这也是在数学课程中开展研究性教学的客观要求。实际上,陈省身先生和钱学森先生在 20 世纪 30 年代就已经指出,数学教学需要关注计算机所带来的深刻影响,并且倡导数学课程教学要与计算机技术紧密结合。这种化整为零的方式能更有效地组织数学课程的研究性教学。它打破了数学课程教学的单调,增强了数学课程教学的实践,提升了课程的教学效果。

从教学实践方面来看,这种模块化的教学方式在学时有限的情况下更能发挥出效果。比如在线性代数、最优化等课程里,学生能够借助数学软件的数值计算功能来进行例题的计算以及数值模拟,这样他们就可以从一些没必要的机械计算练习中解脱出来,进而能够把更多的精力放在理论和方法的学习上。在几何类课程如解析几何、微分几何中,借助数学软件在图形绘制方面的强大能力,能够快速且准确地绘出教学中所涉及的曲线、曲面等几何图形,这使得课程的研究性教学更加直观生动,还能引导学生去开展对几何对象性质的探究与验证。同时,利用数学软件也可以给一些非几何课程中的抽象结论赋予几何解释,有助于学生从多个角度理解课程的教学内容。线性方程组求解属于线性代数的经典内容。通过数学软件开展这部分内容的研究性教学:三元一次方程与三维空间中的一个平面相对应,而三元一次方程组求解的问题等同于求各个方程所对应的平面交点问题。利用数学软件绘制出各个方程所对应平面的图形,让学生观察其交点的状况,并将其与计算结果进行对比。接着,让学生针对二元一次方程组以及四元一次方程组等不同情况展开进一步的讨论与验证。学生觉得这种方式极为新颖且直观。

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(三)做好数学应用的教学工作

应用是数学的归宿,同时也是数学创新的重要来源。著名数学教育家弗洛登塔尔说过:“数学从现实中来,并且要用于现实。”华罗庚先生概括过数学应用范围很广,比如:宇宙很大、粒子很微、火箭速度很快、化工很巧、地球在变化、生物有很多谜、日常用品很繁杂,到处都用到数学。数学的广泛应用给数学课程的研究性教学在问题设计方面提供了重要帮助,给知识引入方面提供了重要帮助,给理论实践方面提供了重要帮助;为灵活多样研究性教学方式的开展提供了支撑;也为学生创新能力的培养提供了依托,为学生探究精神的培养提供了依托。

大学数学知识有很多实际应用。像线性代数、工程数学等,在气象预报、经济管理、人口分析、数字信号处理、工程设计、计算机模拟等领域有众多应用。微分几何被广泛应用于地图描绘、DNA 结构研究、图形处理、计算机辅助设计、建筑业的曲面浇筑以及机械加工等方面。在以往的大学数学课程学习过程中,学生难以知晓这些应用的实际情况。我们应当在数学与应用之间搭建起桥梁,借助这些材料,把相关课程研究性教学的知识点引入、背景介绍、问题设计以及理论应用等环节做好。从课程层面来看,这样做有利于展现学科交叉的优势,增强数学课程与理工科其他专业之间的联系。从学生角度而言,这对他们有诸多益处。其一,有助于提升他们对数学课程内容的亲近感;其二,能够激发他们学习数学课程的兴趣。同时,学科的交叉与融合还能让他们构建起跨学科的知识框架,为他们日后将数学知识应用于理工科相关专业的创新研究打下基础。

另外,要充分利用数学应用课程中的数学建模这一研究性教学平台。通过它,帮助学生在数学的知识方面得到训练,在数学的思考方面得到训练,在数学的辩论方面得到训练,在数学的行动方面得到训练,在数学的应用方面得到训练,在数学的体验方面得到训练,从而实现全面训练。在数学建模过程中,学生需对实际问题进行深入观察与分析。需认真分析问题所涉及的各种因素。要抓住问题中的主要矛盾。需将实际问题抽象化和简化。要区分各种变量之间的关系。要善于运用数学知识建立合适的数学模型。要选用合适算法并使用数学软件进行求解。要收集资料以验证结果的可靠性。数学建模课程将理论学习、应用实践、数学软件使用以及实际问题解决等进行了有机整合。它能够有效地训练学生的数学思维,能够训练学生的问题分析能力,能够训练学生的资料检索能力,能够训练学生的数学软件使用能力等。同时,它还能提高学生综合运用数学知识分析和解决实际问题的能力,能够培养学生团结合作以及攻克难题的科研协作精神。在近年的教学实践里,我们察觉到数学实验和数学建模课程存在差异,同时也有着联系。我们应当积极地把这两门课程教学的前后衔接工作做好,并且做好课程融合工作。

(四)改革课程的考核与评价方式

随着研究性教学的逐步开展,数学课程在教学内容方面发生了根本性变化,教学方式也有了改变,教学目标同样发生了变化。与之相适应,数学课程的考核方式需要进行调整,评价方式也应进行改革。只有这样,才能够调动起教师投身研究性教学的积极性,也能调动学生的积极性,从而引导数学课程的研究性教学步入科学规范的轨道。

过去以期末试卷成绩来评价数学课程教学效果的方式存在一定的片面性与不足。这种考核方式主要考察的是学生的计算能力、推理能力以及记忆能力。它无法全面地反映出学生在学习方面、研究方面以及创新能力方面所取得的进步。随着数学课程研究性教学的不断推进,需要逐步去探索并建立起这样一个考核评价体系:将数学课程的平时考察与期末考试相结合,让主观与客观相互协调,使多种考核方式相互配合。其一,在期末考试方面,应当增加那些能够反映学生创新思维以及能力进步的主观性试题,同时也要增加能够反映学生知识应用能力的综合性试题。其二,要主动去探索数学课程的多样化考核方式。可以依据不同课程的特点、教学目标以及教学阶段来设计多种考核方式,营造一种开放的学习研究氛围,对学生的个性发展予以鼓励,全面地体现学生在知识、能力、素质等方面所取得的进步。同时,应当强化教学的形成性评价,重点加强对学生平时学习的检查与督促。教师缺少对学生平时学习效果的了解和考核,这导致学生的平时学习完全依赖自主性。同时,教师也无法及时对学生的学习效果作出评价,也不能根据反馈信息调整后续教学活动。因此,应采取合理方式增加对学生平时学习效果的检测,加强对学生方式和方法的调控与指导。近年来在数学课程教学实践里,我们依据课程教学内容,引领学生在课外去收集以及阅读有关学科发展、数学猜想研究、数学家生平等方面的资料。接着让学生撰写学科发展综述、数学问题研究概况等读书报告或者文献综述。最后将这些报告按比例计入学生的平时成绩。我们发现,这种方式把学习和考核进行了有机结合。它有效地培养了学生在文献阅读方面的初步方法与技能,也培养了学生在资料收集方面的初步方法与技能,还培养了学生在分析概括方面的初步方法与技能等科学研究的初步方法与技能。同时,这种方式增进了学生对所学课程的了解,在一定程度上反映出了学生研究性学习的水平。

大学数学课程的研究性教学的开展是实施创新教育的重要部分,其中很多问题需从理论和实践层面去探索。要结合不同数学课程的具体特点,积极探索开展大学数学课程研究性教学的多种措施,以便更好地发挥大学数学课程在创新型人才培养中的载体作用。

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